Fraktale, Goldener Schnitt, Fibonacci und Sonnenblumen
	In der Biologie findet sich eine Unmenge Mathematik - was eine gute Erklärung hat
	Sehen Sie diesen Beitrag in unserer Mediathek Wenn jede Zahl die Summe ihrer zwei Vorgänger ist, dann hat man nicht nur die Fibonacci-Folge, sondern auch eine Übersicht über den Aufbau einer Sonnenblume: Die stellt ihre Teilblüten nämlich in der Reihenfolge 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 ... auf. Der Grund liegt aber weniger in einer verborgenen Zahlenmystik, sondern an dem Wirken des Pflanzenhormons Auxin und dem Streben der Pflanze, dass jedes Blatt so viel Licht als möglich bekommt. Schließlich sollen sich die Blätter ja nicht selbst überdecken.

So legt die Pflanze sie in dem größtmöglichen Abstand an. Das heißt zwar für zwei Blätter "gegenüber", doch ein drittes Blatt gerät in die Nähe der beiden anderen - ein 120-Grad-Winkel wäre die Lösung. Doch dann kommt das vierte, das fünfte - und darum muss der Winkel sich so selten als möglich stören. Der Goldene Schnitt und Fibonacci-Folge hängen zusammen Die Blätter liegen wenig übereinander Hier kommt auf einmal eine andere Zahl ins Spiel: der Goldene Schnitt (φ). Das ist eine Zahl, die sich extrem schlecht durch den Bruch zweier rationalen Zahlen annähern lässt, sprich: Egal, wie viele Blätter folgen, die Wahrscheinlichkeit, dass sie dicht übereinander liegen, geht gegen null. Der goldene Schnitt selbst ist definiert als ½·(1+√5). Das Faszinierende ist, dass der Goldene Schnitt mit der Fibonacci-Folge zusammenhängt: Der Quotient zweier folgender Zahlen aus der Folge nähert sich immer mehr φ an. "Im Erbgut gespeichert ist mit Sicherheit die Blattstellung", weiß Pflanzenforscher Rolf Rutishauser von der Uni Zürich. "Verfolgen wir dann weiter, wie die Verzweigungen kommen, so sehen wir, dass an einem Jahrestrieb dann vor allem an den oberen Blättern die sich streckenden Seitentriebe ergeben. Diese verzweigen sich in einem späteren Jahr weiter, bis schließlich der Baum da ist." Fraktale kennzeichnet das Prinzip der Selbstähnlichkeit Fraktale sind schon lange bekannt Auch hierfür hat der Mathematiker einen Begriff: Fraktale. Der US-amerikanische Mathematiker Benoit B. Mandelbrot, Professor an der Harvard-Universität, gilt als "Vater" der Fraktale. Vergrößert man ein Merkmal eines solchen Fraktals, die Elemente der Bilder eben, so tauchen immer wieder dieselben Merkmale auf. In der großen Woge ist eine kleine, ebenso strukturierte Welle enthalten, genauso steckt Wirbel in Wirbel. Die Mathematiker sagen, dass diese Strukturen nur sich selbst ähnlich sind. Man kann sie mit sonst nichts vergleichen, das ist das für die Fraktale kennzeichnende Prinzip der Selbstähnlichkeit. Die Existenz der Fraktale oder zumindest ähnlicher Strukturen waren der Wissenschaft schon jahrhundertelang bekannt. Ihre schwierige Durchschaubarkeit und Behandlung sorgte jedoch dafür, dass sie lange in der Rumpelkammer der Mathematik verblieben. Erst um die Wende vom 19. zum 20. Jahrhundert erinnerte man sich ihrer wieder; aber nicht, um sie zu erforschen. Mandelbrot weiß, dass die Wiederbelebung einzig und allein bezweckte, "die Grundlagen der vorherrschenden Mathematik zu zerfressen." Viele Disziplinen beschäftigen sich mit fraktaler Geometrie Fraktale wurden zur Erklärung der Welt herangezogen Fast jeder Mathematiker habe sie damals als "Monster" betrachtet, die man besser in Ruhe lasse. Je weiter die Physiker am Anfang unseres Jahrhunderts daran gingen, die Fragen nach der Form der Welt zu entschleiern, um so mehr wurde die Theorie der Fraktale wieder aufgegriffen. Schienen die Monster anfangs noch völlig ungeeignet zur Bechreibung der Natur zu sein, so wurden sie doch allmählich zu einem wichtigen Hilfsmittel. Manche Wissenschaftler scheuen sich nicht, von einer revolutionären Entwicklung innerhalb der Mathematik zu sprechen. Es sind nicht nur Mathematiker betroffen. Auch Physiker, Chemiker, Biologen, Statistiker, Techniker, Astronomen, Meteorologen und Ökonomen befassen sich mit dem Phänomen der fraktalen Geometrie. Diese Geometrie führt fort von der "glatten Geometrie eines Euklid", wie Mandelbrot es nennt. Im Sinne des griechischen Philosophen wollte man die komplizierten Formen und Umrisse der Natur stets in glatte, einfach zu berechnende Gebilde überführen. Wolken sollten Ovale und Kreise sein, Berge glichen Kegeln, Küstenlinien setzten sich aus Geraden und Halbkreisen zusammen. Die Natur ist oft unregelmäßig - es gibt abenteuerliche Formen Nicht alles lässt sich über Mathematik erklären Aber es waren und sind eben nur Ähnlichkeiten, die wahre "Natur ist nicht glatt" (Mandelbrot), die meisten Formen sind abenteuerlich zerrissen und zersplittert. Die Baumrinde ist übersät mit Rissen und Sprüngen, ein Blitz bahnt sich seinen Weg im Zickzack. Das Beispiel einer Küstenlinie erläutert die Anschauungen der revolutionären Mathematiker. Aus dem Weltall erscheinen die britischen Inseln mit einer genau definierten Küstenlänge. Beim Näherkommen erschließen sich dem Auge ständig neue Buchten, die Uferlänge wächst stetig. Tatsächlich umspült das Meer Tausende von Felsen und Myriaden von Sandkörnern. Die Grenze zwischen fest und flüssig wächst so ins Unermessliche. Diese Vergrößerung könnte bis in den molekularen und atomaren Bereich vorgetrieben werden, ohne daß sich grundsätzlich etwas ändern würde. Dies verwirrende Spiel der Natur versucht die Mathematik der Fraktale in den Griff zu bekommen.

Sehen Sie diesen Beitrag in unserer Mediathek Fraktale und Regenwürmer Die gebrochen dimensionale Küstenlänge Erosion macht Küsten kantig

01.06.2005, zuletzt aktualisiert am 23.10.2008 / mp mit Material von dpa

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